明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

一組のピタゴラス数から新たなピタゴラス数を導く

a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cをピタゴラス数と言います。

これからa,b,cを3つ組のピタゴラス数と呼ぶことにします。

たとえば3^2+4^2=5^2なので、3,4,5は3つ組のピタゴラス数です。

 

自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たすとし、a<b<c、c-b=x、c-a=yとするとき

(a^2-x^2,b^2-x^2)

(a^2-y^2,b^2-y^2)

(a^2+x^2,c^2+x^2)

(b^2+y^2,c^2+y^2)

というそれぞれの2つ組の数は、3つ組のピタゴラス数のなかの2つになっている。と予想しました。

ただし、値が負になったときは絶対値をとることにし、2つ組が互いに素でないときは互いに素になるまで公約数で割ることにします

 

例をあげると、(5,12,13)というピタゴラス数で考えると、

a=5,b=12,c=13,x=1,y=8より、

a^2-x^2=24, b^2-x^2=143なので(24,143)

a^2-y^2=-39,b^2-y^2=80なので絶対値をとって(39,80)

a^2+x^2=26, c^2+x^2=170なので2で割って(13,85)

b^2+y^2=208,c^2+y^2=233なので(208,233)

という4つの2つ組の数が表れ、それぞれ実際に

(24,143)は(24,143,145)

(39,80)は(39,80,89)

(13,85)は(13,84,85)

(208,233)は(105,208,233)

という3つ組のピタゴラス数のうちの2つになっています。

 

証明できていないので、証明できる方いたら教えていただけるとありがたいです。