明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

二次方程式を特性方程式として見る

ふたつの自然数を解に持つ二次方程式特性方程式として見て、現れる数列を見ると面白いことになっているようなので投稿します。とは言っても、おそらく有名だとは思います。僕のように知らなかった人に面白がってもらえればなと。

 

1,2を解に持つ二次方程式は、(x-1)(x-2)=0を展開してx^2-3x+2=0だと分かります。

この二次方程式を-2+3x=x^2という形に変形して特性方程式として見ると、

-2f(n)+3f(n+1)=f(n+2)という一般フィボナッチ数列が現れます。

 

f(0)=1,f(1)=2とするとき、

1,2,4,8,16,32,64,……と2のべき乗が小さい順に現れました。

 

一般化して、nを解に持つ二次方程式特性方程式として見、一般フィボナッチ数列を作ると、その一般フィボナッチ数列の初期値を1,nとするとき、その一般フィボナッチ数列がnのべき乗を出力することに気付きました。

 

もう一つ例をあげておくと、3,5を解に持つx^2-8x+15という二次方程式から、-15+8x=x^2という特性方程式を作り、その特性方程式から-15f(n)+8f(n+1)=f(n+2)という一般フィボナッチ数列を作ると、

f(0)=1,f(1)=3とするとき

1,3,9,27,81,……という3のべき乗を出力する数列が現れ、

f(0)=1,f(1)=5とするとき

1,5,25,125,625という5のべき乗を出力する数列が現れます。

 

以上です。お読みいただきありがとうございました!