明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

複素数を一意に表す2つの書き方の、その2つの対応

すべての複素数は、実数+純虚数の形で一意に表せます。

また、すべての複素数は、正の数×単位円上の数の形でも一意に表せます(これからは単位円上の数を単位円と略すことにします)。

この、実数・純虚数のコンビと、正の数・単位円のコンビの関係性は、ある演算の階層を変えたものだということに気付きました。

 

実数・純虚数のコンビにおいて、それぞれに実数を掛けても、それぞれ実数・純虚数のままです。

正の数・単位円のコンビにおいて、それぞれを実数乗しても、それぞれ正の数・単位円のままです。

 

実数・純虚数のコンビにおいて、それぞれに純虚数を掛けると、実数は純虚数に、純虚数は実数になります。

正の数・単位円のコンビにおいて、それぞれを純虚数乗すると、正の数は単位円に、単位円は正の数になります(詳細は「虚数乗」を読んでください)。

 

掛け算をべき算に変えただけですね。

 

 

実数・純虚数においての掛け算の関係性が、正の数・単位円においてはべき算の関係性にそっくり変わっています。

実数・純虚数においての関係性の演算より、正の数・単位円においての関係性の演算のほうが階層がひとつ上になっています。(掛け算より、べき算のほうが階層が一つ上だという意味)

 

すべての複素数は、実数と純虚数の足し算で一意的に表せました。

また、すべての複素数は、正の数と単位円の掛け算で一意的に表せました。

ここでも、実数・純虚数においての関係性の演算より、正の数・単位円においての関係性の演算のほうが階層がひとつ上になっています。(足し算より、掛け算のほうが階層が一つ上だという意味)

 

以上が僕の気付いたことです。お読みいただきありがとうございました!