aを2以上の自然数とする。
a^n-a^(n-1)+a^(n-2)-a^(n-3)+……a^0=f(n)とおくとき
af(n)+(a-1)f(n+1)=f(n+2)になっていることに気付きました
例えば、a=2のとき
f(0)=1
f(1)=2-1=1
f(2)=4-2+1=3
f(3)=8-4+2-1=5
f(4)=16-8+4-2+1=11
となって、2f(n)+f(n+1)=f(n+2)を確かに満たしています。
証明は簡単で、f(n)をそのまま代入します
af(n)+(a-1)f(n+1)
=a(a^n-a^(n-1)+a^(n-2)-a^(n-3)+……a^0)+(a-1)(a^(n+1)-a^n+a^(n-1)-a^(n-2)+……a^0)
=(a^(n+1)-a^n+a^(n-1)-a^(n-2)+……a)+a(a^(n+1)-a^n+a^(n-1)-a^(n-2)+……a^0)-(a^(n+1)-a^n+a^(n-1)-a^(n-2)+……a^0)
=a(a^(n+1)-a^n+a^(n-1)-a^(n-2)+……a^0)……a^0
=a^(n+2)-a^(n+1)+a^n-a^(n-1)+……a^0
=f(n+2)
以上です。読んでくれてありがとうございます。
