「九九と2乗」の続きですが、2乗は出て来ません。
三角数の九九を考えてみます。n番目の三角数はn(n+1)/2です。
三角数の九九とは何かと言えば簡単で、掛ける数を自然数ではなく三角数にしただけです。
1 3 6 10 15
3 9 18 30 45
6 18 36 60 90
10 30 60 100 150
15 45 90 150 225
「九九と2乗」のときのように、表の上を左下から右上へ45度の角度で通る直線を考え、＋記号と－記号を交互につけて足し合わせると、
1=1
3-3=0
6-9+6=3
10-18+18-10=0
15-30+36-30+15=6
となりました。サンプルが少ないですが、偶数番目は0に、奇数番目は三角数が小さい順に現れそうです。
1 2 3 4 5
3 6 9 12 15
6 12 18 24 30
10 20 30 40 50
15 30 45 60 75
となり、＋記号と－記号を交互につけて斜めに足し合わせると、
1=1
3-2=1
6-6+3=3
10-12+9-4=3
15-20+18-12+5=6
となり、どうやら偶数番目も奇数番目もそれぞれに三角数が小さい順に現れそうです。
では、三角錐数で九九を作ってみます
1 4 10 20 35
4 16 40 80 140
10 40 100 200 350
20 80 200 400 700
35 140 350 700 1225
＋記号と－記号を交互につけて斜めに足し合わせると、
1=1
4-4=0
10-16+10=4
20-40+40-20=0
35-80+100-80+35=10
となり、偶数番目は0、奇数番目は三角錐数が小さい順に現れそうです。
1 3 6 10 15
4 12 24 40 60
10 30 60 100 150
20 60 120 200 300
35 105 210 350 525
となり、＋記号と－記号を交互につけて斜めに足し合わせると、
1=1
4-3=1
10-12+6=4
20-30+24-10=4
35-60+60-40+15=10
となって、偶数番目奇数番目ともに三角錐数が小さい順に現れそうです。
一般化して、n次三角数の九九も同様になっているだろうと予想しています。
