明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

群の条件を緩めてmod pにおいてべき乗で群のようなものを作ろうとしてみる

べき乗は群の条件を満たしていないので、どう条件を緩めたら群になるかを考えてみます。

 

べき乗を*と書くことにします。

べき乗の演算を考えるので、a*bという計算はaがmod p、bがmod p-1になってしまいます。(a^(p-1)=a^0(フェルマーの小定理)なので)

よってmod pでは集合{1,2,3,4,……,p-1}、mod p-1では集合{1,2,3,4,……,0}を考えることにします。(ただしmod pでのp-1とmod p-1での0を同じ数と見なします。)

このように考えた集合を仮にA集合と呼ぶことにします。

この時点でかなり無理をしていますが、これからも無理をします。すみません。

 

さて、ある集合が群であるための条件は、

①  演算*で閉じている。

②  (a*b)*c=a*(b*c)が常に成り立つ

③  どのようなaに対してもa*e=e*a=aとなるようなeが存在する

④   a*b=b*a=eとなるようなbがどのaに対しても存在する

というものでした

 

A集合が満たしている条件は①のみです。これから条件を緩めたものを書きます。

①   演算*で閉じている。

③'  どのようなaに対してもa*e=aとなるようなeが存在する

④'   a*b=e,c*a=eとなるようなb,cがどのaに対しても存在する

これがA集合の持つ群のような性質です。

A集合において、e=1,b=0,c=1です。

 

以上です。大して面白い話できていなくて申し訳ありません。

べき乗で群のようなものができるぞ!!と個人的にテンションが上がったので投稿させてもらいました。

なにか、似たようなことをしている本やサイトを知っている方いたら是非教えて下さい。