べき乗は群の条件を満たしていないので、どう条件を緩めたら群になるかを考えてみます。
べき乗を*と書くことにします。
べき乗の演算を考えるので、a*bという計算はaがmod p、bがmod p-1になってしまいます。(a^(p-1)=a^0(フェルマーの小定理)なので)
よってmod pでは集合{1,2,3,4,……,p-1}、mod p-1では集合{1,2,3,4,……,0}を考えることにします。(ただしmod pでのp-1とmod p-1での0を同じ数と見なします。)
このように考えた集合を仮にA集合と呼ぶことにします。
この時点でかなり無理をしていますが、これからも無理をします。すみません。
さて、ある集合が群であるための条件は、
① 演算*で閉じている。
② (a*b)*c=a*(b*c)が常に成り立つ
③ どのようなaに対してもa*e=e*a=aとなるようなeが存在する
④ a*b=b*a=eとなるようなbがどのaに対しても存在する
というものでした
A集合が満たしている条件は①のみです。これから条件を緩めたものを書きます。
① 演算*で閉じている。
③' どのようなaに対してもa*e=aとなるようなeが存在する
④' a*b=e,c*a=eとなるようなb,cがどのaに対しても存在する
これがA集合の持つ群のような性質です。
A集合において、e=1,b=0,c=1です。
以上です。大して面白い話できていなくて申し訳ありません。
べき乗で群のようなものができるぞ!!と個人的にテンションが上がったので投稿させてもらいました。
なにか、似たようなことをしている本やサイトを知っている方いたら是非教えて下さい。