パスカルの三角形の、一つの行にあるすべての数をそれぞれ2乗して和をとると、ある行の真ん中にある数になることに気付きました。
↓はパスカルの三角形です
では一つの行にある数をそれぞれ2乗し、足し合わせようと思います。
1^2=1
1^2+1^2=2
1^2+2^2+1^2=6
1^2+3^2+3^2+1^2=20
1^2+4^2+6^2+4^2+1=70
と、n行目の2乗の和が、2n-1行目の真ん中の数になりました。
ちなみに、2n-1行目の数をそれぞれ2乗し、＋と－を交互につけて足し合わせても2n-1行目の真ん中の数が表れます。
1^2=1
-1^2+2^2-1^2=2
1^2-4^2+6^2-4^2+1^2=6
-1^2+6^2-15^2+20^2-15^2+6^2-1^2=20
1^2-8^2+28^2-56^2+70^2-56^2+28^2-8^2+1^2=70
実はこのことは一般のk-パスカルの三角形に一般化できます。
(k-パスカルの三角形という発想は 松田修、津山工業高等専門学校数学クラブ著「11からはじまる数学(東京図書)」を参考にさせてもらいました。)
3-パスカルの三角形は
このようなものでした。上の三つの数を足して下の数を作るようなパスカルの三角形です。
一つの行のなかの数をすべて2乗し、和をとると
1^2=1
1^2+1^2+1^2=3
1^2+2^2+3^2+2^2+1^2=19
1^2+3^2+6^2+7^2+6^2+3^2+1^2=141
と、確かに行の真ん中の数が表れました。
n行目の数を、2乗し＋と－を交互につけて足し合わせても
1^2=1
1^2-1^2+1^2=1
1^2-2^2+3^2-2^2+1^2=3
1^2-3^2+6^2-7^2+6^2-3^2+1=7
1^2-4^2+10^2-16^2+19^2-16^2+10^2-4^2+1^2=19
と、それぞれの行の真ん中の数が表れます。
一般のk-パスカルの三角形に対しても同様のことが言えるだろう、と予想しています。
もう一つ拡張できます。
と数が並んでいるとき、A+B+C=Dとなっているようなパスカルの三角形を考えます。
下の図のような三角形です。
このパスカルの三角形の場合、どうやら隣り合う二行分の数の2乗の和が行の真ん中の数になるようです。
1^2+1^2+1^2=3
1^2+1^2+1^2+3^2+1^2=13
1^2+3^2+1^2+1^2+5^2+5^2+1^2=63
これも、「k-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形」で書いたような三角形に一般化できそうです。
以上です。
お読みいただきありがとうございました！
