明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

パスカルの三角形と2乗

パスカルの三角形の、一つの行にあるすべての数をそれぞれ2乗して和をとると、ある行の真ん中にある数になることに気付きました。

 

↓はパスカルの三角形です

 

11
121
1331
14641
15101051
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

 

 

では一つの行にある数をそれぞれ2乗し、足し合わせようと思います。

1^2=1

1^2+1^2=2

1^2+2^2+1^2=6

1^2+3^2+3^2+1^2=20

1^2+4^2+6^2+4^2+1=70

と、n行目の2乗の和が、2n-1行目の真ん中の数になりました。

 

ちなみに、2n-1行目の数をそれぞれ2乗し、+と-を交互につけて足し合わせても2n-1行目の真ん中の数が表れます。

 

1^2=1

-1^2+2^2-1^2=2

1^2-4^2+6^2-4^2+1^2=6

-1^2+6^2-15^2+20^2-15^2+6^2-1^2=20

1^2-8^2+28^2-56^2+70^2-56^2+28^2-8^2+1^2=70

 

実はこのことは一般のk-パスカルの三角形に一般化できます。

(k-パスカルの三角形という発想は 松田修津山工業高等専門学校数学クラブ著「11からはじまる数学(東京図書)」を参考にさせてもらいました。)

 

 3-パスカルの三角形は

1
1   1   1
1  2   3   2  1
1   3   6   7   6   3   1
1  4  10 16 19 16 10  4  1
1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1
1 6 21 50 90 126 141 126 90 50 21 6 1

 

 このようなものでした。上の三つの数を足して下の数を作るようなパスカルの三角形です。

一つの行のなかの数をすべて2乗し、和をとると

1^2=1

1^2+1^2+1^2=3

1^2+2^2+3^2+2^2+1^2=19

1^2+3^2+6^2+7^2+6^2+3^2+1^2=141

と、確かに行の真ん中の数が表れました。

 

n行目の数を、2乗し+と-を交互につけて足し合わせても

1^2=1

1^2-1^2+1^2=1

1^2-2^2+3^2-2^2+1^2=3

1^2-3^2+6^2-7^2+6^2-3^2+1=7

1^2-4^2+10^2-16^2+19^2-16^2+10^2-4^2+1^2=19

と、それぞれの行の真ん中の数が表れます。

 

一般のk-パスカルの三角形に対しても同様のことが言えるだろう、と予想しています。

 

もう一つ拡張できます。

A
B C
D

と数が並んでいるとき、A+B+C=Dとなっているようなパスカルの三角形を考えます。

 

下の図のような三角形です。

1
1  1
1  3  1
1  5  5  1
1 7 13 7 1
1 9 25 25 9 1
1 11 41 63 41 11 1

 

このパスカルの三角形の場合、どうやら隣り合う二行分の数の2乗の和が行の真ん中の数になるようです。

 

1^2+1^2+1^2=3

1^2+1^2+1^2+3^2+1^2=13

1^2+3^2+1^2+1^2+5^2+5^2+1^2=63

 

これも、「k-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形」で書いたような三角形に一般化できそうです。

 

何も思うところなくてもコメントくれると嬉しいです。

お読みいただきありがとうございました!