明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

n次三角数とm次k角数の九九の表から表れるn+m+1次k角数

「n角錐数に対応する九九の表」の拡張ができました

mizumiya-umi.hatenablog.com

 

0次三角数を1と定義し、

1次三角数自然数、つまり1次三角数のa番目をaと定義します

 

下の表は、0次三角数を上から小さい順(とは言ってもすべて1ですが)に並べ、2次四角数、つまり平方数を左から小さい順に並べ、九九のように掛け算をしたものです

1 4 9 16 25
1 4 9 16 25
1 4 9 16 25
1 4 9 16 25
1 4 9 16 25

 

 これを、「n角錐数に対応する九九の表」のときのように左下から右上へ斜めに足すと、四角錐数、つまり3次四角数が表れます

1=1

1+4=5

1+4+9=14

1+4+9+16=30

1+4+9+16+25=55

 

0次三角数の代わりに1次三角数にすると4次四角数が表れるだろうことは、「n角錐数に対応する九九の表」に書いた通りです

 

一般化して、n次三角数と2次四角数の九九の表を考えるとn+3次四角数が表れ、

更に一般化して、n次三角数とm次四角数の九九の表を考えるとn+m+1次四角数が表れ、

もっと一般化して、n次三角数とm次k角数の九九の表を考えると、n+m+1次k角数が表れると予想しています

 

例をあげると、3次三角数と2次四角数の九九の表はこのようなものです

  1   4     9   16
  4 16   36   64
10 40   90 160
20 80 180 320

 

斜めに足していくと

1

4+4=8

10+16+9=35

20+40+36+16=112

と、6次四角数が表れました

 

なにか質問などあれば、気軽にコメント下さい。

お読みいただきありがとうございました!