明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

n次三角数とm次k角数の九九の表から表れるn+m+1次k角数

「n角錐数に対応する九九の表」の拡張ができました。

 

0次三角数を1と定義し、

1次三角数自然数、つまりx番目の1次三角数をxと定義する。

 

まずは簡単な例から説明します。

 

下の表は、0次三角数を上から小さい順(とは言ってもすべて1だが)に並べ、(2次)四角数(つまり平方数)を左から小さい順に並べ、九九のように掛け算をしたものです。

 

1 4 9 16 25
1 4 9 16 25
1 4 9 16 25
1 4 9 16 25
1 4 9 16 25

 

 これを、「n角錐数に対応する九九の表」のときのように、斜め45度の直線を引いて計算すると四角錐数、つまり3次四角数が表れます。

 

1=1

1+4=5

1+4+9=14

1+4+9+16=30

1+4+9+16+25=55

 

0次三角数の代わりに1次三角数にすると4次四角数が表れるだろうことは、「n角錐数に対応する九九の表」に書いた通りです。

 

更に、2次三角数と2次四角数の九九の表を考えると5次四角数が、

一般化して、n次三角数と2次四角数の九九の表を考えるとn+3次四角数が、

更に一般化して、n次三角数とm次四角数の九九の表を考えるとn+m+1次四角数が、

 更にさらに一般化して、n次三角数とm次k角数の九九の表を考えるとn+m+1次k角数が表れる。と、予想しています。

 

例をあげると、3次三角数と2次四角数の九九の表はこのようなものです。

 

  1   4     9   16
  4 16   36   64
10 40   90 160
20 80 180 320

 

直線を引いて足していくと、

1

4+4=8

10+16+9=35

20+40+36+16=112

と、6次四角数が表れました。

 

 

かなり拡張できたので満足です。

間違っているところがあったらすみません。なにか質問などあれば、気軽にコメント下さい。