明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形

まず、下の三角形の図をご覧ください。

 

3 1 
5 3 1
7 5 31
9 7 5 31
11 9 7 5 31

 

この、奇数を並べた三角形から、パスカルの三角形からフィボナッチ数列をとりだしたときのように(「k-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形」を参照して下さい)、三角数を取り出すことができるらしいことに気付きました。

実際に、

1=1

3=3

5+1=6

7+3=10

9+5+1=15

11+7+3=21

と、三角数が表れました。

 

これを、数の次元をあげても同様のことが言えることにも気付きました。

 

奇数を小さい順に足したもの、つまり、四角数(平方数)、を、上の図のように三角形状に並べたものから、三角錐数を取り出すことができるようです。

 

4 1 
9 4 1
16 9 41
25 16 9 41
36 25 16 9 41

 

1=1

4=4

9+1=10

16+4=20

25+9+1=35

36+16+4=56

 

と、確かに三角錐数が表れました。

 

これの次元をさらにあげて、四角数を小さい順に足したもの、つまり、四角錐数を三角形状に並べたものから、四次三角数を取り出すことができるようです。

 

これの次元をさらにあげて、さらにあげて、さらにあげて、と、どこまでもあげることができるだろうと予想しています。

 

証明はできていません。今回はn次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形でしたが、n次m角数とn次m+1角数を繋ぐような三角形もあったらいいなぁ、と思います。また思いついたら投稿します。