「三角錐数に対応する数の敷き詰め」の拡張を書きます
タイトルの高次三角数というのは僕の造語です
n次三角数を小さい順に足したものをn+1次三角数と呼ぶことにします
1,5,15,35,70,126,210,……
となり、
５次三角数は
1,6,21,56,126,256,466,……
となります
n番目の５次三角数はh＋j＋k＝n＋2(ただしh,i,jは自然数)とするときの考え得るh×i×jの総和になっているらしいことに気付きました。証明はできていません
n＝1のとき、
1×1×1＝1
n＝2のとき、
2×1×1＋1×2×1＋1×1×2＝6
n＝3のとき（ここから省略して書きます）
(3×1×1)×3＋(2×2×1)×3＝21
n＝4のとき
(4×1×1)×3＋(3×2×1)×6＋2×2×2＝56
n＝5のとき
(5×1×1)×3＋(4×2×1)×6＋(3×3×1)×3＋(3×2×2)×3＝126
となって、確かに５次三角数が小さい順に表れます
一般化して
n番目の７次三角数は
h[1]＋h[2]＋h[3]＋h[4]＝n＋3(ただしh[x]は自然数)
とするときの考え得る h[1]×h[2]×h[3]×h[4] の総和に、
n番目の2m-1次三角数は
h[1]＋h[2]＋……＋h[m]＝n＋m－1(ただしh[x]は自然数)
とするときの考え得る h[1]×h[2]×……×h[m] の総和になっているだろうと予想しています。
h[1]＋h[2]＋……＋h[m]＝n＋m－1とするときの考え得る h[1]×h[2]×……×h[m]は、
m次元の九九で、(m-1)次元上に並んでいるな、と思います
おそらく有名な事実だと思いますが、楽しいなと思いました
以上です お読みいただきありがとうございました！
