明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

高次三角数に対応する数の積

三角錐数に対応する数の敷き詰め」の拡張を書きます。拡張が思いつかないとか書いてましたが思いついちゃいました。すみません。

タイトルの高次三角数というのは僕の造語です。

 

三角錐数を、三次三角数と名付けることにし、

n次三角数を小さい順に足したものをn+1次三角数と呼ぶことにします。

 

四次三角数は、三角錐数を小さい順に足したものなので、

1,5,15,35,70,126,210,……

となり、

五次三角数

1,6,21,56,126,256,466,……

となります。

 

n番目の五次三角数はh+j+k=n+2(ただしh,i,jは自然数)とするときの考え得るh×i×jの総和になっていることに気付きました。証明はできていません。

 

n=1のとき、

1×1×1=1

n=2のとき、

2×1×1+1×2×1+1×1×2=6

n=3のとき(ここから少し省略して書きます)

(3×1×1)×3+(2×2×1)×3=21

n=4のとき

(4×1×1)×3+(3×2×1)×6+2×2×2=56

n=5のとき

(5×1×1)×3+(4×2×1)×6+(3×3×1)×3+(3×2×2)×3=126

となって、確かに五次三角数が小さい順に表れます。

 

一般化して、

n番目の七次三角数はh[1]+h[2]+h[3]+h[4]=n+3(ただしhは自然数)とするときの考え得るh[1]×h[2]×h[3]×h[4]の総和に、

n番目の2m-1次三角数はh[1]+h[2]+h[3]+……+h[m]=n+m-1(ただしhは自然数)とするときの考え得るh[1]×h[2]×h[3]×……×h[m]の総和になっているだろうと予想しています。

おそらく、有名な事実だと思うので、このことについて書いてあるサイトや本を知っている方は是非教えてください。