明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

少し変形させたフィボナッチ数列に対応する少し変形させたパスカルの三角形

タイトル通り、ある少し変形させたフィボナッチ数列にある少し変形させたパスカルの三角形を対応させることができました。

 

その少し変形させたフィボナッチ数列とは、

f(n)+f(n+1)+1=f(n+2)

f(0)=0,f(1)=1

で定義されるf(n)です。言葉で言うと、前の2つの数を足したものに、更に1を足したものが次の数になるような数列、と言えます。

nが小さい順に少し並べてみると

1,2,4,7,12,20,33,54,88,143,232,……

となります。

このようなフィボナッチ数列が、(「k-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形」で書いたように)左下から右上へ向かう直線の上にある数の総和をとっていくと表れるような、パスカルの三角形を少し変形させたものを見つけたのです。

 

その少し変形させたパスカルの三角形は、

 

 

2 1
3 3 1
4 6 4 1
5 10 10 5 1
6 15 20 15 6 1
7 21 35 35 21 7 1
 

というものです。一番右の数は1で、一番左の数は行を追うごとに1ずつ増えていき、そのほかの場所は、普通のパスカルの三角形と同様に上の2つの数を足したものです。

左下から右上へ向かう直線の上にある数の総和をとっていくと

1,2,3+1,4+3,5+6+1,6+10+4,7+15+10+1

つまり、

1,2,4,7,12,20,33

となり、少し変形させたフィボナッチ数列の始めのほうの数と一致しました。

 

一般化させて、

一番右の数(頂点の数を含む)を1で、一番左の数は行を追うごとにmずつ増えていき、そのほかの場所は普通のパスカルの三角形同様上の2つの数を足したものになっているようなパスカルの三角形と、

f(n)+f(n+1)+m=f(n+2)

f(0)=0,f(1)=1

で定義されるフィボナッチ数列を対応させることができるだろうと予想しています。

 

 m=2のときはこのようなパスカルの三角形です

3 1
5 4 1
7 9 5 1
9 16 14 6 1
11 25 30 20 7 1
13 36 55 50 27 8 1