タイトル通り証明を思いついたので投稿します
f(0)(p,n)=(n-1)^(p-1) (mod p)
となっていることに気付きました。
このことの証明は、(p-1)Cmが、mが偶数のとき1になり、mが奇数のとき-1になることから分かります。
(p-1)Cmという記号は、(p-1)(p-2)(p-3)……(p-m)/(1×2×3×……×m)を表しています。
気になる方は、「組み合わせ 数学」などで検索してみて下さい。
(p-1)Cm=(p-1)(p-2)(p-3)……(p-m)/(1×2×3×……×m)なので、modpで考えると
(p-1)Cm=(-1)^mとなります。
このことからmが偶数のとき(p-1)Cm=1に、mが奇数のとき(p-1)Cm=-1になることが分かります。
実は、
(n-1)^(p-1)=n^(p-1)-(p-1)C1×n^(p-2)+(p-1)C2×n^(p-3)-(p-1)C3×n^(p-4)……-(p-1)C(p-2)×n^1+(p-1)C(p-1)×n^0
と表すことができるのです。証明が気になる方は「二項定理」で検索してみて下さい。
このことと、mod pにおいて、mが偶数のとき(p-1)Cm=1に、mが奇数のとき(p-1)Cm=-1になることを合わせて考えると、
(n-1)^(p-1)=n^(p-1)+n^(p-2)+n^(p-3)+……+n+1 (mod p)
となり、右辺はf(0)(p,n)に他ならないので、
f(0)(p,n)=(n-1)^(p-1)
であることが言えました
x=n-1とする
x^(p-1)をxについて微分したものと、(n-1)^(p-1)をnについて微分したものは、グラフで丁度1ずれたものになることに気付きました。
x^(p-1)と(x-1)^(p-1)がそもそもグラフで1ずらしただけのものなので、微分は関数の傾きを求めるものだと思えば当たり前だと言えば当たり前だと思うのですが、厳密には証明できていません。知っている方いたら教えてください。
なので、f(0)(p,x)=x^(p-1)と書くと、その1その2で書いたことのすべては自明になります。
以上です。mを自然数とするときのf(t)(p,n)(mod pm)やf(t)(pm,n)(mod p)も似たような規則を持っていそうなので、これから調べていこうと思います。