明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

3-パスカルの三角形の隠れた規則

松田修津山工業高等専門学校数学クラブ著「11からはじまる数学(東京図書)」を参考にさせていただきました

k-パスカルの三角形という発想はこの著作から引用させていただきました

 

3-パスカルの三角形とは、上の3つの数を足して下の数を作ってできるパスカルの三角形です

 

ABC
D
 

と数があったとき、D=A+B+Cとなっているということです

 

一般に、上のkつの数を足して下の数を作るパスカルの三角形をk-パスカルの三角形と呼ぶことにします

 

3-パスカルの三角形は具体的には

1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
1 4 10 16 19 16 10 4 1
1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1
1 6 21 50 90 126 141 126 90 50 21 6 1
1 7 28 77 161 266 357 393 357 266 161 77 28 7 1

 

 という形になります。桁数が大きい行が少しずれてしまいましたが、僕の知識では、どうすればずれないのかが分からないです。すみません

 

では本題に入ります

といっても、僕の「パスカルの三角形の隠れた規則」という投稿の内容と同じで、ただパスカルの三角形が3-パスカルの三角形になったというだけです

 

二行目の真ん中の1と同じく二行目の一番右の1が入る範囲を考え、この範囲を左下に動かしていくと

(1,1),(2,3),(3,6),(4,10),(5,15),(6,21),(7,28)

となり、それぞれの2つ組を公約数で割ったり定数倍すると

(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8)

と、きれいな形になりました

 

二行目の一番右の1と三行目の右から二番目の2が入る範囲を考え、その範囲を左下に動かし、できたそれぞれの2つ組をうまく公約数で割ったり定数倍すると

(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(3,10),(3,11)

というきれいな形が表れます

 

三行目の、一番右の1と右から二番目の2が 入る範囲を考え、その範囲を左下に動かし、できたそれぞれの2つ組をうまく公約数で割ったり定数倍すると

(12,6),(14,12),(16,19),(18,27),(20,36)

となり、2つ組の前の数は12から2ずつ増えてゆき、2つ組の後ろの数は増える量が1ずつ増えてゆきます(+6,+7,+8,+9,というように)

 

一般のk-パスカルの三角形でも同様に、2つ組をとっていくと、きれいな規則性が表れると予想しています