松田修、津山工業高等専門学校数学クラブ著「11からはじまる数学(東京図書)」を参考にしました
k-パスカルの三角形という発想はこの著作から引用させていただきました
3-パスカルの三角形とは、上の3個の数を足して下の数を作ってできるパスカルの三角形です
と数があったとき、D=A+B+Cとなっています
一般に、上のk個の数を足して下の数を作るパスカルの三角形を、k-パスカルの三角形と呼ぶことにします
3-パスカルの三角形は具体的には
という形です
では本題に入ります
といっても、「パスカルの三角形の隠れた規則」で書いた内容を、3-パスカルの三角形で考えたというだけです
二行目の、真ん中の1と一番右の1を選び、この組の左下にある2つの数の組を並べると
(1,1),(2,3),(3,6),(4,10),(5,15),(6,21),(7,28)
となり、それぞれの組を公約数で割ったり定数倍すると
(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8)
という、きれいな形になりました
二行目の一番右の1と三行目の右から二番目の2を選び、この組の左下にある2つの数の組をうまく公約数で割ったり定数倍すると
(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(3,10),(3,11)
と、きれいな形が表れます
三行目の、一番右の1と右から二番目の2を選び、その組の左下にある2つ組をうまく公約数で割ったり定数倍すると
(12,6),(14,12),(16,19),(18,27),(20,36)
となり、2つ組の前の数は12から2ずつ増えてゆき、2つ組の後ろの数は増加する値が1ずつ増えてゆきます(+6,+7,+8,+9,というように)
一般のk-パスカルの三角形でも同様に、2つ組をとっていくと、きれいな規則性が表れると予想しています