明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

パスカルの三角形の隠れた規則

パスカルの三角形で思いついたことがあるので投稿します。このサイト・本に書いてあるよーという方は是非教えて下さい

今回は普通のパスカルの三角形のみを考えます

 

パスカルの三角形から、隣り合う2つの数が入るような範囲を作り、その範囲を真下や右下や左下に移動させていって、通った2つの数の組を並べると規則性が表れることに気付きました。ただし2つの数の組が互いに素でない場合は、互いに素になるまで公約数で割ります。

 

まず、パスカルの三角形の一番上にある1とそこから右下の1が入るような範囲を作り、その範囲を真下に移動させていって、通った2つの数の組を並べてみます

 

 パスカルの三角形は

11
121
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5  10   10  5 1
1   6  15  20  15  6  1
1  7  21  35  35  21  7  1
1  8  28  56  70  56  28  8  1
1  9  36  84  126 126  84  36  9  1

 

 というものなので、

(1,1),(2,3),(6,10),(20,35),(70,126)

となり、それぞれの2つ組を互いに素になるまで割ると

(1,1),(2,3),(3,5),(4,7),(5,9)

となり、2つ組の前の数は1,2,3,4,5,……と自然数が小さい順に並び、2つ組の後ろの数は1,3,5,7,9,……と自然数の奇数が小さい順に並んでいることが分かります

式で書くとf(n)=(n,2n-1)となります

ただしnは自然数とし、これからもnを自然数として話を進めます

 

 

 では他の範囲も見てみましょう

パスカルの三角形の二行目の一番右の1と三行目の一番右の1が入る範囲を考え、この範囲を左下に移動していって、通った2つ組の数を並べてみます

 

 (1,1),(2,3),(3,6),(4,10),(5,15),(6,21),(7,28),(8,36)

互いに素になるまで割ると

(1,1),(2,3),(1,2),(2,5),(1,3),(2,7),(1,4),(2,9)

となり

f(2n-1)=(1,n),f(2n)=(2,2n+1)

という式を満たしています

f(2n-1)の項を二倍すると

(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9)

という綺麗な形になります

 

 

パスカルの三角形の三行目の一番右の1と四行目の一番右の1が入る範囲を考え、この範囲を左下に移動していって、通った2つ組の数を互いに素になるまで割ったものを並べてみると、

(1,1),(3,4),(3,5),(1,2),(3,7),(3,8),(1,3)となり

f(3n-2)=(1,n),f(3n-1)=(3,3n+1),f(3n)=(3,3n+2)

という式を満たしています

f(3n)の項を三倍すると

(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9)

という綺麗な形になります

 

パスカルの三角形の二行目の真ん中の2と同じく二行目の一番右の1が入るような範囲を考え、この範囲を左下に移動していって、通った2つ組の数を互いに素になるまで割ったものを並べてみると、

(2,1),(1,1),(2,3),(1,2),(2,5),(1,3),(2,7),(1,4)

となり、f(2n)の項を二倍すると

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8)

という綺麗な形になります

 

 

二行目の一番左の1と三行目の一番左の1が入るような範囲を考え、この範囲を真下に移動していって、通った2つ組の数を互いに素になるまで割ったものを並べてみると、

(1,1),(3,4),(2,3),(5,8),(3,5)

となり、一見したところ規則性は見当たりません 

しかし、うまい具合にそれぞれの2つ組を自然数倍すると

(1,1),(3,4),(6,9),(10,16),(15,25)

となり、2つ組の前の数は三角数、後ろの数は平方数(四角数)になります

式で書くとf(n)=(n(n+1)/2,n^2)となります

 

証明はできていません。出来る方いたら是非教えて下さい