パスカルの三角形から隣り合う２つの数を選ぶとき、
その２つの数の真下や右下や左下に並ぶ２つの数の組たちに、規則性があると気付きました
ただし、２つの数の組が互いに素でない場合は、互いに素になるよう最大公約数で割ります
例を挙げていきます
まず、パスカルの三角形の一行目の１と二行目の左側の１の組を選び、その組の真下にある２つの数の組を並べてみます
パスカルの三角形は
というものなので、
(1,1),(2,3),(6,10),(20,35),(70,126)
となり、それぞれの２つ組を互いに素になるまで割ると
(1,1),(2,3),(3,5),(4,7),(5,9)
となり、
２つ組の前の数は1,2,3,4,5,…… と自然数が並び、
２つ組の後ろの数は1,3,5,7,9,…… と自然数の奇数が並んでいることが分かります
式で書くと、f(n)＝(n,2n-1)となります
nは自然数とし、この記事の中ではnを自然数として扱うことにします
では他の例も見てみましょう
パスカルの三角形の二行目の右側の１と三行目の一番右の１を選び、この組の左下にある２つの数の組を並べます
(1,1),(2,3),(3,6),(4,10),(5,15),(6,21),(7,28),(8,36)
それぞれの組を互いに素になるまで割ると
(1,1),(2,3),(1,2),(2,5),(1,3),(2,7),(1,4),(2,9)
となり
f(2n-1)＝(1,n), f(2n)＝(2,2n+1)
という式を満たしています
f(2n-1)の項を２倍すると
(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9)
という綺麗な形になります
三行目の一番右の１と四行目の一番右の１を選び、この組の左下にある２つの数の組を、互いに素になるまで割って並べると
(1,1),(3,4),(3,5),(1,2),(3,7),(3,8),(1,3)となり
f(3n-2)＝(1,n), f(3n-1)＝(3,3n+1), f(3n)＝(3,3n+2)
という式を満たしています
f(3n)の項を３倍すると
(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9)
という綺麗な形になります
三行目の真ん中の２と三行目の一番右の１を選び、この組の左下にある２つの数の組を互いに素になるまで割ったものを並べると
(2,1),(1,1),(2,3),(1,2),(2,5),(1,3),(2,7),(1,4)
となり、f(2n)の項を二倍すると
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8)
という綺麗な形になります
二行目の一番左の１と三行目の一番左の１を選び、この組の真下にある２つの数の組を互いに素になるまで割って並べると
(1,1),(3,4),(2,3),(5,8),(3,5)
となり、一見したところ規則性は見当たりません
しかし、うまい具合にそれぞれの2つ組を自然数倍すると
(1,1),(3,4),(6,9),(10,16),(15,25)
となり、２つ組の前の数は三角数、後ろの数は平方数（四角数）になります
式で書くと、f(n)＝(n(n+1)/2,n^2) となります
証明はできていません
