g(x,m)=f(xg(x,m)^m) とします。
任意の行の母関数にf(x)を掛けると1つ下の行の母関数になるような表の、
全ての行の母関数にh(x)を掛けた表と
全ての傾き-mの直線上の母関数にh(xg(x,m)^m)を掛けた表が同じになります。
また、f(x)のx^kの係数を(1+ak)倍した行を作ると、傾きaで0が並びます(左端だけ1)
例としてパスカルの三角形で考えます。
任意の行に1+xを掛けると1つ下の行になるのでf(x)=1+x
g(x,1)=f(xg(x,1))=1+xg(x,1) なので
g(x,1)=1/(1-x)=1+x+x^2+…
全ての行にh(x)を掛けた表と、 全ての傾き-1の直線上にh(x/(1-x))を掛けた表は同じになります。
例えばh(x)=1+2x とすると
h(x/(1-x))＝1+2x/(1-x)=1+2x+2x^2+2x^3+… です。
表に書くとこうなります。
1,2
1,3,2
1,4,5,2
1,5,9,7,2
1,6,14,16,9,2
パスカルの三角形の各行にh(x)=1+2xを掛けた表とも、
全ての傾き-1の直線上にh(x/(1-x))=1+2x+2x^2+2x^3+… を掛けた表とも思えます。
f(x)^mのx^k(kは0以上の整数)の係数を(1+kn)倍してできる関数をf[m,n]と書くことにします。
ab=cd のとき
f[a,b]×f(x)^(c-a)=f[c,d] になっていることに気付きました。
証明します。
x=y^b=z^d とすると
f[a,b]=(yf(y^b)^a)' （yについての微分）
f[c,d]=(zf(z^d)^c)' （zについての微分）と書けるので、
f[a,b]×f(x)^(c-a)=(yf(y^b)^a)'×f(x)^(c-a)
=(f(x)^a+y×af(x)^(a-1)×f'(x)×by^(b-1))×f(x)^(c-a)
=f(x)^c+abxf(x)^(c-1)f'(x)
=f(x)^c+cdxf(x)^(c-1)f'(x) （ab=cdなので）
=f[c,d]
よって f[a,b]×f(x)^(c-a)=f[c,d] が示せました。
f[-abn,-1/n]のx^nの係数が0になるので、
f[a,b]にf(x)の実数乗を掛けたものを並べた表では、0が斜めに並ぶことが分かります。
以上です。
お読みいただきありがとうございました。
