明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

数列の環とn乗数

前回の記事、

mizumiya-umi.hatenablog.com

の続きです。

 

無限に続く数列の積を見ていきましょう。

 

{1,1,1,1,……}と、1が延々と続いていく数列を、#という記号で表すことにします。

#={1,1,1,1,……}

としたということです。

#^2、つまり#と#の積は、

{1,2,3,4,……}

という自然数の数列になります。

#^3、つまり#の3乗は、

{1,3,6,10,……}

という、三角数の数列になります。

#^4は三角錐数の数列になります。

 

さて、

{1^n,2^n,3^n,4^n,……}

というような、n乗数を並べた数列を、簡単な数列の積で表せそうなことに気付きました。

 

まず、上に書いたように、

{1,2,3,4,……}=#^2

となっています。

{1}という数列が乗法の単位元になるので、

{1,2,3,4,……}=#^2×{1}

とも書けます。

 

2乗数を並べた数列、{1,4,9,16,……}は、

{1,4,9,16,……}=#^3×{1,1}

というように、

3乗数を並べた数列、{1,8,27,64,……}は、

{1,8,27,64,……}=#^4×{1,4,1}

というように、

4乗数を並べた数列、{1,16,81,256,……}は、

{1,16,81,256,……}=#^5×{1,11,11,1}

というように、

5乗数を並べた数列、{1,32,243,1024,……}は、

{1,32,243,1024,……}=#^6×{1,26,66,26,1}

というようになっているようです。

一般に、n乗数を並べた数列は#^(n+1)と有限の長さの数列の積で表せるだろうと予想しています。

また、このようにして現れた有限の長さの数列の項の和が、階乗になっているようなのです。

{1}→1=1!

{1,1}→1+1=2=2×1=2!

{1,4,1}→1+4+1=6=3×2×1=3!

{1,11,11,1}→1+11+11+1=24=4×3×2×1=4!

{1,26,66,26,1}→1+26+66+26+1=120=5×4×3×2×1=5!

 

面白いなぁと思います。

以上です!お読みいただきありがとうございました!

数列の環

この記事では、項数が有限の数列を、そのあとに0という数の入った項が無限に続く数列と見なして扱うことにします。

 

nを自然数、a[n],b[n]を整数とします。

さて、

{a[1],a[2],a[3],a[4],……}という無限に続く数列と、

{b[1],b[2],b[3],b[4],……}という無限に続く数列の和を、

{a[1]+b[1],  a[2]+b[2],  a[3]+b[3],  a[4]+b[4],……}と定義し、

積を、

{a[1]b[1],  a[1]b[2]+a[2]b[1],  a[1]b[3]+a[2]b[2]+a[3]b[1],  a[1]b[4]+a[2]b[3]+a[3]b[2]+a[4]b[1],……}

と定義するとき

整数を項に持つ数列の集合は可換環になるようです。

環というものは、和と積が定義されているとき、A(B+C)=AB+ACというように分配法則を満たしているものです。(他にも環になるための条件はあります) 

 

今回定義した数列同士の積について少し書きます。

{2,1}という数列と{3,4}という数列の積は、3項目以降を0とみなすことも踏まえて考えると

{2,1}×{3,4}={2×3,2×4+1×3,2×0+1×4+0×3}

={6,11,4}

となります。

この計算は、21×34=714という数の積とも対応しています。

{6,11,4}の1項目を100倍、2項目を10倍、3項目を1倍して和をとると、714、つまり21×34になるのです。

6×100+11×10+4×1=714

一般にこのようなことが成り立っているだろうと予想しています。

 

以上です!お読みいただきありがとうございました!

 

和が0の行列の体

aを実数とする。

( a -a)
(-a  a)

という形で表せるすべての二次正方行列の集合は、通常の(行列の)加法と乗法に関して体になるらしいことに気付きました。

 

この体の乗法の単位元は、

( 1/2 -1/2)
(-1/2  1/2)

です。

 

 

一般のn次正方行列でも同様のことが言えるようです。

 

3次正方行列の場合を書きます。

a,b,cを実数とし、a+b+c=0となっているとする。

(a b c)
(c a b)
(b c a)

の形で表せるすべての3次正方行列の集合は、通常の加法と乗法に関しての体になっているようです。

 

この体の乗法の単位元は、

( 2/3 -1/3  -1/3)
(-1/3  2/3  -1/3)
(-1/3 -1/3  2/3)

のようです。

 

 

また、この体も前回の「和が1の行列の体 その2」で書いたこととほとんど同様に、mod pで考えることができます。

 

以上です。有名な事実なのかもしれませんが、面白いなぁと思いました。

お読みいただきありがとうございました!

和が1の行列の体 その2

前回の記事、

mizumiya-umi.hatenablog.com

 

では二次正方行列を考えましたが、これをn次正方行列に一般化できるらしいことに気付きました。

 

まず3次正方行列を見ていきます。

a,b,c,x,y,zを実数とし、a+b+c=1,x+y+z=1となっているとします。

(a b c)
(c a b)
(b c b)

という形で表せるすべての行列の集合は、通常の乗法に関して可換群になっています。

 

また、

s,t,uを

s=a+x-1/3

t=b+y-1/3

u=c+z-1/3

とし、

(a b c)
(c a b)
(b c b)

と、

(x y z)
(z x y)
(y z x)

の和を、

(s t u)
(u s t)
(t u s)

と定義すると、この加法に関して上記の集合は可換群になります。

この加法と乗法は分配法則を満たし、この集合は体になります。

 

一般のn次正方行列でも同様です。

 

素数を法とするときを考えるのも面白いです。

pをnと互いに素な素数とします。

mod pにおいて、n次正方行列の上記のような集合は、上記のような加法と乗法に関して、位数p^(n-1)の体になるようなのです。

 

以上です!お読みいただきありがとうございました!

和が1の行列の体

a,bを実数とする。

(   a    1-a)
(1-a       a)

の形で書けるすべての二次正方行列の集合は、乗法に関して可換群になります。

 

また、この集合において、

(   a    1-a)
(1-a       a)

(   b    1-b)
(1-b       b)

の和を、

( a+b-1/2    -a-b+3/2)
(-a-b+3/2     a+b-1/2)

と定義すると、加法に関しても可換群になります。

この加法と行列の掛け算は分配法則を満たし、体になります。

 

ちなみに、この加法の単位元

(1/2  1/2)
(1/2  1/2)

です。

 

以上です!お読みいただきありがとうございました!

ある形の一般フィボナッチ数列の和で自然数を一意的に表す

aを自然数とする。

f(0)=1,f(1)=1,f(x)+a×f(x+1)=f(x+2)

とf(x)を定義し、

g[x]を0,1,2,……,aのうちのいずれかの数になっているとする。

 

すべての自然数は、

g[1]×f(1)+g[2]×f(2)+…+g[n]×f(n)     (nは自然数)

の形で表せるだろうと予想しました。

さらに、g[k]=aならば必ずg[k-1]=0となっていなければならないという条件をつけたとき、

すべての自然数はこの形で一意的に表せるだろうとも予想しています。

 

a=2の場合について同じことが書いてあるサイトがあったので有名な事実なのかもしれませんが、自分で見つけたし面白いなぁと思うので投稿しちゃいました。

このことについて、なにか知っている方いたら教えていただけると嬉しいです。

 

以上です!お読みいただきありがとうございました!

二重ピタゴラス操作の拡張

 a,b,cを整数、nを自然数の定数とする。

a^2+n×b^2=c^2

となっているとするとき、

s=2(a+nb-c)/n

とすると、

(s-a)^2+n×(s-b)^2=(s-c)^2

となっているだろうと予想しました。

つまり、平方と平方のn倍の和が平方になっているような3つの数の組があるとき、この計算をすることで、同じようになっている新たな3つの数の組を見つけることができるということです。

 

例をあげます。

1^2+2×2^2=(-3)^2

つまり、a=1,b=2,c=-3,n=2とすると、

s=2(a+nb-c)/n=2(1+2×2-(-3))/2=8

なので、

s-a=7

s-b=6

s-c=11

となり、実際に、

7^2+2×6^2=11^2

となっています。

 

また、この計算はもっと一般化できるみたいです。

a,b,cを整数、nを自然数の定数、mを整数の定数とするとき、

a^2+n×b^2+m=c^2

となっているならば、

s=2(a+nb-c)/n

とすると、

(s-a)^2+n×(s-b)^2+m=(s-c)^2

となっているようなのです。

 

僕自身、これほどまでに二重ピタゴラス操作の考え方を拡張して使うことができると思っていなかったので、驚いています。

お読みいただきありがとうございました!